Masalah Kontekstual yang Berhubungan dengan Vektor

   Vektor merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah. Penerapan vektor banyak ditemui dalam kehidupan sehari-hari. Misalkan seseorang ingin menyeberang sungai menggunakan perahu dengan kecepatan x m/s (meter per sekon). Dengan adanya arus sungai mengakibatkan jarak yang ditempuh tidak sama dengan lebar sungai. Arus pada sungai mengakibatkan perahu agak terseret sehingga jaraknya semakin jauh dan waktu yang ditempuh juga semakin lama. Contoh penerapan vektor antara lain kecepatan arus sungai dan kecepatan perahu karena keduanya memiliki kecepatan dan arah sehingga arah akan mempengaruhi resultan vektor.

   Contoh Penerapan Vektor

• Orang terjun payung. Disaat penerjun menjatuhkan diri dari pesawat, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng. Hal ini dikarena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin.
• Perahu yang menyeberangi sungai. Ketika perahu menyeberangi sebuah sungai, maka kecepatan gerak perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air.
• Pemanah. Pada saat seorang pemanah menarik anak panah dari busurnya maka arah gerak anak panah ditentukan dengan menjumlahkan vektor dari gaya tarik tali di kedua ujung busur tersebut.
• Permainan layang-layang. Orang yang sedang bermain layang-layang maka arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan sehingga pengaruh dari vektor dapat membantu orang tersebut untuk dapat melihat layangan dengan lebih jelas.
• Kalap selam. Pada kapal selam terdapat rongga sebagai tempat keluar masuknya air atau udara. Pada saat rongga tersebut berisi udara, maka air yang keluar sama dengan berat kapal. Dengan keadaan ini kapal selam dapat mengapung. Namun, ketika rongga udara dibuka maka volume air dalam rongga akan bertambah, keadaan ini mengakibatkan kapal selam tenggelam.
• Permainan jungkat-jungkit. Di saat seorang anak bermain permainan jungkat-jungkit, bidang miring pada jungkat-jungkit menggunakan gaya vektor agar anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu.

Penerapan vektor dalam bidang teknologi modern

• Kemudi pilot.  Ketika pilot sedang menerbangkan pesawat. Pilot tersebut menggunakan komputer navigasi yang dihubungkan dengan vektor yang berfungsi sebagai penunjuk arah bagi seorang pilot. Hal ini bertujuan agar arah dari pesawat sesuai dengan jalur yang telah ditentukan dan tidak kehilangan arah, sehingga sampai pada tujuan.

• Dalam komputer, penggunaan vektor yaitu dalam pembuatan grafis. Grafis merupakan gambar yang terbuat dari titik-titik koordinat di mana layar komputer difungsikan sebagai sumbu x dan sumbu y. Grafik vektor merupakan gambar yang terbuat dari gabungan antara titik-titik dan garis dengan rumus matematika tertentu. Salah satu aplikasi software komputer yang menerapkan konsep dari vektor adalah Coreldraw dan Adobe Illustrator. Aplikasi tersebut dapat digunakan untuk membuat gambar 3D.

Contoh Soal

Menggambar Ilustrasi

 Liburan semester yang akan datang, Anton ingin sekali bertemu dengan teman lamanya waktu SMP dulu yang bernama Sinta. Anton dan Sinta berencana bertemu di Taman Kota yang tidak jauh dari rumah Sinta. Tapi sayangnya, Anton tidak tahu dimana tepatnya taman kota tersebut. Kemudian Sinta menjelaskan arah ke taman kota. “Kamu berangkat dari mana, Ton?” ujar Sinta. “Nanti saya naik bis dan turun di terminal bis, jadi kamu kasih petunjuknya dimulai dari terminal bis saja ya…,” ujar Anton.

“Oh ya, tidak jauh kok dari terminal bis. Dari terminal bis kamu jalan saja ke arah utara sejauh 20 m, kemudian ke timur 13 m, kemudian ke arah selatan 10 m. Nah….nanti aku menunggu kamu di situ," ujar Sinta.

Dari ilustrasi di atas, tentukan : 

1. Gambar ilustrasi perjalanan Anton dari terminal bis ke taman kota 

2. Berapa jarak yang ditempuh Anton untuk sampai ke taman kota? 

3. Berapa perpindahannya? 

Alternatif Jawaban: 

Langkah-langkah mengerjakan Berikut langkah-langkah yang dapat kalian lakukan untuk menyelesaikan pertanyaan di atas : 

1. Tentukan satu titik awal untuk memulai menggambar vektor (terminal bis), beri nama, misalnya titik A.

2. Dari titik awal, titik A dilanjutkan menggambar vektor yang lain sesuai dengan arah dan panjang vektor, dan berilah nama.

3. Setelah selesai menggambar, bisa langsung dihitung jarak dan perpindahannya

Daftar Pustaka:

1. Bintarifr. 2014. "Contoh penerapan vektor dalam kehidupan sehari-hari". https://brainly.co.id/tugas/739818, diakses pada 26 Maret 2021 pukul 07: 26. 
2. Haryati, Sri. 2018. "Tatanan Rumah". https://emodul.kemdikbud.go.id/C-Mtp-2/C-Mtp-2.pdf, diakses pada 26 Maret 2021 pukul 07: 30.  

Read More

Proyeksi Ortogonal dan Panjang Proyeksi bersama Contoh Soalnya

 Diberikan dua buah vektor OA dan OB, dengan θ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Misalkan h adalah sebuah garis lurus yang melalui OB dan P adalah sebuah titik pada h sedemikian sehingga AP tegak lurus h, seperti pada gambar (i) atau (ii).

Proyeksi ortogonal vektor OA pada OB atau cukup kita sebut proyeksi vektor OA pada OB adalah proyeksi tegak lurus OA pada sebuah garis lurus yang melalui (sejajar) OB.

Jadi, proyeksi vektor OA pada OB adalah OP.

Apabila θ lancip maka OP akan searah dengan OB dan apabila θ tumpul maka OP akan berlawanan arah dengan OB, seperti pada gambar diatas.

Dengan demikian, vektor proyeksi OA pada OB, yaitu OP akan selalu kolinear dengan OB.

Panjang Proyeksi Vektor

Misalkan OA = a,  OB = b, dan OP = p, dengan |a| , |b| dan |p| berturut-turut adalah panjang dari vektor a, b dan p.

Dengan bantuan trigonometri, panjang proyeksi vektor a pada b, yaitu |p| dapat dinyatakan dalam bentuk :
|p| = |a| cos θ,     jika θ lancip
|p| = -|a| cos θ,    jika θ tumpul

Mengingat  $\begin{array}{c}cos\theta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}\end{array}$, maka

$\begin{array}{cc}|p|& =|a|\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{a\cdot b}{|b|},\theta lancip\end{array}$

$\begin{array}{cc}|p|& =-|a|\frac{a\cdot b}{|a||b|}=-\frac{a\cdot b}{|b|},\theta tumpul\end{array}$

Walaupun persamaan terakhir bertanda negatif, namun nilainya tetap positif. Hal ini disebabkan, ketika θ tumpul, maka a ‧ b < 0.


Secara umum, panjang proyeksi vektor a pada b, yaitu |p| kita rumuskan

$$\begin{array}{c}|p|=\frac{\left|a\cdot b\right|}{\left|b\right|}\end{array}$$

dengan
|p| = panjang proyeksi vektor a pada b
|b| = panjang b
|a ‧ b| = nilai mutlak dari a ‧ b


 Contoh 1 
Diketahui a = [8, 4]  dan  b = [4, -3]. Tentukan panjang proyeksi vektor a pada b dan panjang proyeksi vektor b pada a 
Jawab :
Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

$\begin{array}{c}|p|=\frac{|a\cdot b|}{|b|}=\frac{|8\left(4\right)+4(-3)|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{|20|}{5}=4\end{array}$

Panjang proyeksi vektor b pada a adalah

$\begin{array}{c}|p|=\frac{|a\cdot b|}{|a|}=\frac{|8\left(4\right)+4(-3)|}{\sqrt{8^2+4^2}}=\frac{|20|}{\sqrt{80}}=\sqrt{5}\end{array}$



 Contoh 2 
Panjang proyeksi vektor a = 3i + 4j - k  pada vektor b = i - 2j + k  adalah ...

Jawab :
a = [3, 4, -1]
b = [1, -2, 1]

Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

$\begin{array}{c}|p|=\frac{|3\left(1\right)+4(-2)+(-1)1|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{|-6|}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}\end{array}$

Proyeksi Skalar

Proyeksi skalar a pada b adalah suatu skalar yang nilainya sama dengan panjang proyeksi vektor a pada b, namun bertanda negatif jika vektor proyeksinya berlawanan arah dengan b.

Apabila proyeksi skalar a pada b kita notasikan dengan s, maka

$$\begin{array}{c}s=\frac{a\cdot b}{\left|b\right|}\end{array}$$

 Contoh 3 
Diketahui a = [3, 2, 4]  dan  b = [0, 3, -4]. Tentukan proyeksi skalar a pada b dan proyeksi skalar b pada a.

Jawab :
a = [3, 2, 4]
b = [0, 3, -4]

Proyeksi skalar a pada b adalah

$\begin{array}{c}s=\frac{a\cdot b}{|b|}=\frac{3\left(0\right)+2\left(3\right)+4(-4)}{\sqrt{0^2+3^2+(-4{)}^2}}=-2\end{array}$

Proyeksi skalar b pada a adalah

$\begin{array}{c}s=\frac{a\cdot b}{|a|}=\frac{3\left(0\right)+2\left(3\right)+4(-4)}{\sqrt{3^2+2^2+4^2}}=\frac{-10}{\sqrt{29}}\end{array}$

Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor a pada b, yaitu p merupakan perkalian antara proyeksi skalar a pada b dengan vektor satuan dari b. Kita tulis,

$\begin{array}{c}p=s\hat{b}=\frac{a\cdot b}{\left|b\right|}\frac{b}{\left|b\right|}=\left(\frac{a\cdot b}{{\left|b\right|}^2}\right)b\end{array}$


Dengan demikian, proyeksi vektor a pada b dapat kita rumuskan menjadi

$$\begin{array}{c}p=\left(\frac{a\cdot b}{{\left|b\right|}^2}\right)b\end{array}$$

 Contoh 4 
Diketahui a = [6, -4, 2]  dan  b = [4, 2, -2]. Tentukan proyeksi vektor a pada b dan proyeksi vektor b pada a.

Jawab :
a = [6, -4, 2]
b = [4, 2, -2]

Proyeksi vektor a pada b adalah

$\begin{array}{cc}p& =\left(\frac{a\cdot b}{|b{|}^2}\right)b\\ & =\left(\frac{6\left(4\right)+(-4)2+2(-2)}{4^2+2^2+(-2{)}^2}\right)\left[4,2,-2\right]\\ & =\left(\frac{1}{2}\right)\left[4,2,-2\right]\\ & =[2,1,-1]\end{array}$


Proyeksi vektor b pada a adalah

$\begin{array}{cc}p& =\left(\frac{a\cdot b}{|a{|}^2}\right)a\\ & =\left(\frac{6\left(4\right)+(-4)2+2(-2)}{6^2+(-4{)}^2+2^2}\right)\left[6,-4,2\right]\\ & =\left(\frac{3}{14}\right)\left[6,-4,2\right]\\ & =\left[\frac{9}{7},-\frac{6}{7},\frac{3}{7}\right]\end{array}$



Berdasarkan uraian-uraian diatas, kita dapat menyimpulkan 2 hal berikut :

1. Proyeksi skalar akan menghasilkan skalar (bisa bernilai positif atau negatif), sedangkan proyeksi vektor akan menghasilkan vektor.
2. Panjang proyeksi vektor merupakan nilai mutlak dari proyeksi skalar.

Soal Latihan Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor

 Latihan 1 
Diketahui 3 titik A(4, -1, 2), B(4, 3, -2) dan C(1, 3, 2). Tentukan panjang proyeksi vektor AB pada BC

Jawab :
AB = [4, 3, -2] - [4, -1, 2] = [0, 4, -4]
BC = [1, 3, 2] - [4, 3, -2] = [-3, 0, 4]

Panjang proyeksi vektor AB pada BC adalah

$\begin{array}{cc}|p|& =\frac{\left|AB\cdot BC\right|}{|BC|}\\ & =\frac{\left|0(-3)+4\left(0\right)+(-4)4\right|}{\sqrt{(-3{)}^2+0^2+4^2}}\\ & =\frac{|-16|}{5}=\frac{16}{5}\end{array}$


 Latihan 2 
Dua vektor u = 2i + 3j + mk  dan v = 4i - 4j + 2k membentuk sudut tumpul. Jika panjang proyeksi vektor u pada v adalah 2, maka nilai m adalah ...

Jawab :
u = [2, 3, m]
v = [4, -4, 2]

Misalkan vektor proyeksi u pada v adalah p, dengan panjangnya adalah |p| = 2

$\begin{array}{cc}|p|& =\frac{|u\cdot v|}{|v|}\\ 2& =\frac{|2\left(4\right)+3(-4)+m\left(2\right)|}{\sqrt{4^2+(-4{)}^2+2^2}}\\ 2& =\frac{|2m-4|}{6}\\ 12& =|2m-4|\end{array}$

Dari persamaan nilai mutlak diatas, diperoleh
2m - 4 = 12  atau  2m - 4 = -12
2m = 16  atau  2m = -8
m = 8  atau  m = -4

Karena u dan v membentuk sudut tumpul, maka
u ‧ v < 0   ⇔   2m - 4 < 0   ⇔   m < 2

Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m = -4


 Latihan 3 
Diketahui p = [2, -1, 7] dan q = [3, 0, -4]. Tentukan proyeksi skalar (p + q) pada 2q

Jawab :
p + q =  [2, -1, 7] + [3, 0, -4] = [5, -1, 3]
2q = 2[3, 0, -4] = [6, 0 -8]

Proyeksi skalar (p + q) pada 2q adalah

$\begin{array}{cc}s& =\frac{(p+q)\cdot 2q}{|2q|}\\ & =\frac{5\left(6\right)+(-1)0+3(-8)}{\sqrt{6^2+0^2+(-8{)}^2}}\\ & =\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\end{array}$


 Latihan 4 
Diketahui a = pi - 2j + 2k dan b = 2i + qj + 4k. Jika c = i - 3j + rk adalah proyeksi vektor a pada b,  maka nilai p + q + r adalah ...

Jawab :
a = [p, -2, 2]
b = [2, q, 4]
c = [1, -3, r]

Proyeksi vektor a pada b adalah c. Dengan demikian, b kolinear dengan c. Akibatnya, terdapat skalar k sehingga b = kc

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}2\\ q\\ 4\end{array}\right]=k\left[\begin{array}{c}1\\ -3\\ r\end{array}\right]\end{array}$

Dari persamaan diatas, diperoleh
2 = k(1)   ⇔   k  = 2
q = k(-3)   ⇔   q = -6
4 = k(r)   ⇔   r = 2

Proyeksi vektor a pada b kita tulis :

$\begin{array}{cc}c& =\left(\frac{a\cdot b}{|b{|}^2}\right)b\\ \left[\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right]& =\left(\frac{p\left(2\right)+(-2)(-6)+2\left(4\right)}{2^2+(-6{)}^2+4^2}\right)\left[\begin{array}{c}2\\ -6\\ 4\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right]& =\left(\frac{2p+20}{56}\right)\left[\begin{array}{c}2\\ -6\\ 4\end{array}\right]\end{array}$

Diperoleh persamaan

$\begin{array}{cc}1& =\left(\frac{2p+20}{56}\right)2\\ 28& =2p+20\\ 8& =2p\\ p& =4\end{array}$

Jadi, p + q + r = 4 + (-6) + 2 = 0

Daftar Pustaka

• Maker, Zero. 2018. "Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor". https://smatika.blogspot.com/2018/09/proyeksi-skalar-dan-proyeksi-vektor.html, diakses pada 19 Maret 2021 pukul 05.59 wib.

Read More