Operasi Vektor dan Contoh Soalnya

 Pengertian

Vektor adalah segmen garis yang memiliki nilai dan mempunyai arah, penggunaan tanda (–) negatif pada nilai vektor akan berpengaruh pada arah vektor. Contohnya, vektor yang dinyatakan dengan nilai positif ke arah kanan. Begitu pun sebaliknya, vektor dengan arah ke kiri akan mempunyai nilai (–) negatif. Simbol vektor biasanya berupa ruas garis dengan anak panah pada salah satu ujungnya. 

Operasi Aljabar Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Sumber: Dokumentasi Penulis

Perhatikanlah gambar vektor a, b, dan c pada koordinat Cartesius berikut ini!
Untuk a dan b vektor-vektor pada dua dimensi, berlaku :

Sumber: Dokumentasi penulis

Perkalian Skalar dengan Vektor

Jika k skalar tak nol dan vektor u = (u₁, u₂ , …, u_n), maka ku = (ku₁, ku₂, …, ku_n).

Dalam perkalian skalar dengan vektor ini, jika k > 0, maka vektor ku searah dengan vektor u. Adapun jika k < 0, maka vektor ku berlawanan arah dengan vektor u.

Sumber: Dokumentasi penulis

Sifat-sifat Operasi Hitung pada Vektor

Jika a, b, dan c merupakan vektor-vektor, kemudian k dan l skalar tak nol maka berlaku hubungan berikut :

a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = 0 + a = a a + (–a) = 0

(kl)a = k(la) k (a+b) = ka + kb (k+l)a = ka + la 1a = a

Perkalian antara Dua Vektor

Hasil kali titik (dot product)

Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama, yaitu ruang yang menghasilkan skalar. Jika v dan w vektor pada ruang/dimensi yang sama, θ sudut diantara v dan w, maka hasil kali titik antara dua vektor :

Sumber: Dokumentasi penulis

Beberapa sifat perkalian titik adalah:

a · b = b · a

a · (b + c ) = (a · b )+ (a · c )

k(a · b ) = ka · b = a · kb, dimana k ∈ R

Proyeksi Ortogonal

Vektor ortogonal adalah vektor-vektor yang tegak lurus, v · w = 0 dimana harus ada referensi suatu vektor lain, misal a. Menguraikan u menjadi 2 bagian yaitu sejajar dengan suatu vektor a dan tegak lurus terhadap vektor a.

Sumber: Dokumentasi penulis

Hasil Kali Silang (cross product)

Hasil kali silang merupakan operasi antara dua vektor pada ruang tiga dimensi yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

Sumber: Dokumentasi penulis

Sumber: Dokumentasi penulis

Cara menghitung :

Sumber: Dokumentasi penulis

Contoh soal

1.   Jika vektor c = (8, 9) dan d = (7, 3), tentukanlah operasi vektor berikut:
     c + d                     
     c – d
     a. (15,13) dan (1,4)

     b. (15,11) dan (7,4)

     c. (15,12) dan (1,4)

     d. (15,13) dan (7,4)

     e. (15,12) dan (8,4)

     Penyelesaian:
     c + d = (8, 9) + (7, 3) = (15, 12)
     c – d = (8, 9) – (7, 3) = (1, 4)
     Jadi operasi vektor c + d dan c – d berturut-turut adalah (15, 12) dan (1, 4).

Jadi, jawabannya adalah c. (15,12) dan (1,4)

2.   Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor  dan vektor  bisa searah atau berlainan arah.Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan...

       a. 24

       b. 25

       c. 34

       d. 35

       e. 36

       Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:

       sehingga:

       Maka kelipatan m dalam persamaan:

       Diperoleh:

       disimpulkan:

       p+q=10+14=24

Jadi, Jawabannya adalah a. 24

3.   Misalkan vektor  dan vektor . Jika panjang proyeksi vektor a ̅ pada  adalah 4. Maka tentukan nilai y.

     a. 9

     b. 6

     c. 0

     d. 2

     e. 7

     Pembahasan:

     Diketahui:

     Maka:

12=8+2y

y=2

     Jadi, jawabannya d. 2

Daftar Pustaka

• Yatini. 2020. "Vektor: Pengertian, Panjang, Operasi Vektor". https://tambahpinter.com/vektor-matematika/#Operasi_Aljabar_Vektor, diakses pada 11 Maret 2021 pukul 08.36 wib.
• Mulyanto, Alwin. "Vektor". https://www.studiobelajar.com/vektor/, diakses pada 11 Maret 2021 pukul 09.07 wib.