Sudut antar Vektor pada Bidang Berdimensi Dua dan Berdimensi Tiga Bersama Contoh Soalnya

Ruang Dimensi-n 

     Himpunan bilangan nyata (real) biasanya digambarkan ke dalam sebuah gambar sederhana yang disebut garis bilangan. Garis bilangan dapat dianggap sebagai grafik sederhana yang menyatakan letak suatu bilangan, di mana bilangan yang lebih besar berada di sebelah kanan bilangan yang lebih kecil. 

     Karena garis bilangan hanya memiliki satu dimensi yaitu panjang, maka himpunan bilangan real dapat dinyatakan sebagai ruang berdimensi-1. Meskipun kata „ruang‟ menunjukkan suatu tempat berdimensi-3, namun dalam matematika „ruang‟ mempunyai makna tersendiri. Berdasarkan definisinya, ruang dalam matematika merupakan himpunan dari objek-objek yang memiliki sifat yang sama dan memenuhi semua aturan yang berlaku dalam ruang tersebut. 

Definisi Ruang-1 atau 𝑅 1 

     Ruang dimensi-1 atau ruang-1 (𝑅 1 ) adalah himpunan semua bilangan real (ℝ). Himpunan bilangan real dapat digambarkan oleh garis bilangan real : 

     Jadi, garis bilangan berfungsi untuk menunjukkan letak suatu titik pada suatu garis berdasarkan besarnya. Gagasan ini memunculkan gagasan berikutnya bahwa suatu titik dapat berada pada suatu bidang ataupun ruang. Pada pertengahan abad ke-17 lahirlah konsep ruang dimensi-2 dan dimensi-3, yang kemudian pada akhir abad ke-19 para ahli matematika dan fisika memperluas gagasannya hingga ruang dimensi-n. -3 -2 -1 0 1 2 3 Bulat Negatif Nol Bulat Positif Bil. Rasional & irasional.

Definisi Ruang-2 atau 𝑅 2

     Ruang dimensi-2 atau ruang-2 (𝑅 2 ) adalah himpunan pasangan bilangan berurutan (𝑥, 𝑦), di mana x dan y adalah bilangan-bilangan real. Pasangan bilangan (𝑥,𝑦) dinamakan titik (point) dalam 𝑅 2 , misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑥, 𝑦). Bilangan x dan y disebut koordinat dari titik P. 

     Untuk menggambarkan titik-titik di 𝑅 2 secara geometris, koordinat x dan y dianggap berada pada dua garis bilangan yang berbeda yang membentuk suatu sistem koordinat. Garis bilangan tersebut dinamakan sumbu koordinat. Sumbu koordinat tersebut digambarkan saling tegak lurus dan membentuk suatu sistem yang disebut sistem koordinat siku-siku. Pada 𝑅 2 sistem ini dinamakan sistem koordinat-xy atau sistem koordinat kartesius (Cartesian system) yang dibangun oleh : 

• Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (x, 0). 
• Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0, y).

     Suatu titik yang berada tepat di kedua sumbu dinamakan titik asal (origin point) ditulis O(0, 0). Titik ini adalah titik di mana sumbu x dan y saling berpotongan. 

Definisi Ruang-3 atau 𝑅 3 

     Ruang dimensi-3 atau ruang-3 (𝑅 3 ) adalah himpunan tripel bilangan berurutan (𝑥, 𝑦, 𝑧), di mana x, y, dan z adalah bilangan-bilangan real. Tripel bilangan (𝑥, 𝑦, 𝑧) dinamakan titik (point) dalam 𝑅 3 , misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧). Bilangan x, y, dan z, disebut koordinat dari titik P.

     Seperti halnya 𝑅 2 , 𝑅 3 memiliki sistem koordinat siku-siku yaitu sistem koordinat-xyz, dengan titik asal 𝑂 0,0, 0 , yang dibangun oleh : 

• Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (𝑥,0, 0). y x O
• Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0,𝑦, 0). 
• Sumbu z (z-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0,0, 𝑧).

     Menjelang akhir abad 19, para matematikawan dan fisikawan mulai menemukan gagasan bahwa dimensi tidak hanya terbatas pada dimensi-3 dengan tripel bilangannya, tetapi juga kuadrupel sebagai titik pada ruang dimensi-4, kuintupel pada ruang dimensi-5, dan seterusnya. Hal ini menghasilkan generalisasi untuk ruang dimensi-n. 

Definisi tupel-n-berurutan 

     Jika n adalah sebuah bilangan positif, maka tupel-n-berurutan (ordered-n-tuple) adalah sebuah urutan n buah bilangan real (𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 ). 

Definisi Ruang-n atau 𝑅 𝑛 

     Ruang dimensi-n atau ruang-n (𝑅 𝑛 ) adalah himpunan semua tupel-n-berurutan (𝑎1 ,𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 ), dengan 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , dan 𝑎𝑛 adalah bilangan-bilangan real. Tupel-n bilangan 𝑎1 ,𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 dinamakan titik (point) dalam 𝑅 𝑛 , misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 ). Bilangan 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , dan 𝑎𝑛 disebut koordinat dari P. 

     Jelas bahwa ruang dimensi-n dengan n > 3 tidak dapat divisualisasikan secara geometris, namun penemuan ini sangat berguna dalam pekerjaan analitik dan numerik, karena tidak sedikit permasalahan nyata tidak dapat divisualisasikan dengan grafis namun memerlukan penalaran dan penyelesaian secara matematis. 

     𝑅 𝑛 yang merupakan generalisasi dari 𝑅 1 , 𝑅 2 , dan 𝑅 3 , menyebabkan sifat-sifat dan aturan-aturan di dalamnya adalah sama, perbedaannya hanya terletak pada ukuran atau banyak komponen yang akan dihitung. Walaupun bab ini hanya menyajikan definisi, teorema, atau sifat-sifat dalam 𝑅 2 dan 𝑅 3 , tetapi semuanya akan berlaku untuk 𝑅 𝑛 , setelah dimodifikasi sesuai dimensinya. Seperti definisi jarak antar dua titik dalam 𝑅 2 dan 𝑅 3 berikut yang dapat digeneralisasi untuk 𝑅 𝑛 . 

Vektor 

     Banyak kuantitas fisis, seperti luas, panjang, massa, suhu, dan lainnya, dapat dijelaskan secara lengkap hanya dari besarnya, misalnya 50 kg, 100 m, 30 ℃, dll. Kuantitas fisis ini dinamakan skalar. Dalam matematika, skalar mengacu pada semua bilangan yang bersifat konstan. 

     Namun, ada kuantitas fisis lain yang tidak hanya memiliki besar/nilai tapi juga arah, seperti kecepatan, gaya, pergeseran, dan lain-lain. Kuantitas fisis ini dalam fisika maupun matematika dinamakan vektor. Dalam matematika, ilmu vektor menjadi salah satu cabang ilmu yang semakin luas perkembangannya serta penerapannya, dan tidak terbatas pada mempelajari besaran-besaran yang memiliki nilai dan arah tetapi sebagai suatu besaran yang memiliki banyak komponen yang membentuk satu kesatuan dari besaran itu sendiri. 

Notasi Vektor 

     Vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil tebal (a), atau diberi tanda panah di atasnya (𝑎 ), atau tanda garis bawah ( 𝑎 ). 

Definisi Vektor 

     Sebuah vektor a dengan komponen-n (berdimensi-n) di dalam 𝑅 𝑛 adalah suatu aturan tupel-n dari bilangan-bilangan yang ditulis sebagai baris (𝑎1 ,𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) atau sebagai kolom 𝑎1 𝑎2 ⋮ 𝑎𝑛 , dengan 𝑎1 ,𝑎2 , … , 𝑎𝑛 adalah bilangan-bilangan real dan dinamakan komponen dari vektor a. Dengan demikian, di 𝑅 2 vektor dapat ditulis : 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 ) atau 𝐚 = 𝑎1 𝑎2 , dan di 𝑅 3 vektor dapat ditulis : 𝐚 = (𝑎1 ,𝑎2 , 𝑎3 ) atau 𝐚 = 𝑎1 𝑎2 𝑎3 . Pada bagian berikutnya, vektor akan sering disajikan dalam bentuk baris (vektor baris). Berdasarkan definisi titik dan vektor, simbol (𝑎1 , 𝑎2 , …, 𝑎𝑛 ) mempunyai dua tafsiran geometrik yang berbeda, yaitu sebagai titik dalam hal 𝑎1 , 𝑎2 , …, 𝑎𝑛 adalah koordinat, dan sebagai vektor dalam hal 𝑎1 ,𝑎2 , … , 𝑎𝑛 adalah komponen.

Teorema : Sudut Antara Dua Vektor 

     Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, dan 𝜃 adalah besar sudut di antara kedua vektor tersebut, maka 

• 𝜃 lancip (0° < 𝜃 < 90°) jika dan hanya jika 𝐮 ∙ 𝐯 > 0 
• 𝜃 tumpul (90° < 𝜃 < 180°) jika dan hanya jika 𝐮 ∙ 𝐯 < 0 
• 𝜃 siku-siku (𝜃 = 90°) jika dan hanya jika 𝐮 ∙ 𝐯 = 0 

     Dua vektor yang membentuk sudut siku-siku dinamakan ortogonal (tegak lurus). 

Teorema : Sifat-sifat Perkalian Titik 

     Jika u, v, dan w adalah vektor- vektor di 𝑅 2 atau 𝑅 3 dan k adalah skalar, maka 

     a. 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐯 ∙ 𝐮 

     b. 𝐮 ∙ 𝐯 + 𝐰 = 𝐮 ∙ 𝐯 + 𝐮 ∙ 𝐰 

     c. 𝑘 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑘𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐮 ∙ (𝑘𝐯) 

     d. 𝐯 ∙ 𝐯 > 0 jika 𝐯 ≠ 𝟎 dan 𝐯 ∙ 𝐯 = 0 jika 𝐯 = 𝟎 

Proyeksi 

     Dua vektor yang titik asalnya berimpit dapat menghasilkan vektor lain yang dinamakan vektor proyeksi. Perhatikan ilustrasi berikut. 

     Misalkan a dan b berimpit di titik asalnya. Jika dari titik ujung b ditarik garis menuju a sedemikian sehingga tegak lurus a (diproyeksikan terhadap a), maka vektor yang dapat dibuat dengan titik asal yang sama dan berujung di titik di mana b diproyeksikan pada a dinamakan vektor proyeksi b terhadap a. Vektor ini disebut juga proyeksi ortogonal b pada a. 

     Dengan cara yang sama dapat diperoleh vektor proyeksi a terhadap b. 

Notasi Vektor Proyeksi 

     Vektor proyeksi b terhadap a dinotasikan proy𝐚 𝐛 

     Vektor proyeksi a terhadap b dinotasikan dengan proy𝐚𝐛 

Teorema : Proyeksi Ortogonal 

     Jika u dan v adalah vektor di 𝑅 2 atau 𝑅 3 dan keduanya bukan vektor nol, maka 

proy𝐚 𝐛 = 𝐚 ∙ 𝐛 𝐚 2 𝐚 dan proy𝐛 𝐚 = 𝐚 ∙ 𝐛 𝐛 2 𝐛 

     Sedangkan panjang dari vektor-vektor proyeksi tersebut adalah 

 proy𝐚 𝐛 = 𝐚 ∙ 𝐛 𝐚 dan proy𝐛 𝐚 = 𝐚 ∙ 𝐛 𝐛 

     Contoh: 

     Jika 𝐚 = (1, 0, −2) dan 𝐛 = (2,1, −1) , tentukan vektor proyeksi a pada b. Penyelesaian : 𝐚 ∙ 𝐛 = 4 dan 𝐛 2 = 6 maka proyeksi ortogonal a pada b adalah 

proy𝐛 𝐚 = 𝐚 ∙ 𝐛 𝐛 2 𝐛 = 4 6 2,1, −1 = 4 3 , 2 3 , − 2 3 ∎ 

Perkalian Silang (Cross Product) 

     Berikut akan diperkenalkan sebuah operasi antar vektor dalam 𝑅 3 . Jika perkalian titik akan menghasilkan skalar/bilangan, maka perkalian silang akan menghasilkan vektor. Dan jika proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor la in akan menghasilkan vektor baru yang berimpit dengan vektor tersebut, maka perkalian silang dua vektor akan menghasilkan vektor baru yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut. 

Definisi Perkalian Silang 

     Jika 𝐮 = (𝑢1 ,𝑢2 ,𝑢3 ) dan 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) adalah vektor di 𝑅 3 , maka perkalian silang 𝐮 × 𝐯 didefinisikan oleh 

𝐮 × 𝐯 = (𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2 , 𝑢3𝑣1 − 𝑢1𝑣3 ,𝑢1𝑣2 − 𝑢2𝑣1 ) 

     atau dalam notasi determinan 

𝐮 × 𝐯 = 𝑢2 𝑢3 𝑣2 𝑣3 , − 𝑢1 𝑢3 𝑣1 𝑣3 , 𝑢1 𝑢2 𝑣1 𝑣2 

     Rumus di atas dapat dibuat pola yang mudah diingat. Bentuklah matriks 2 × 3 : 

 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑣1 𝑣2 𝑣3 

     Komponen pertama dari 𝐮 × 𝐯 adalah determinan matriks tersebut setelah kolom pertama dicoret, komponen ke-2 adalah negatif dari determinan matriks setelah kolom ke-2 dicoret, dan komponen ke-3 adalah determinan matriks setelah kolom ke-3 dicoret. 

     Contoh: 

     Misalkan 𝐮 = (1, 2,−2) dan 𝐯 = (3, 0, 1), maka 

 1 2 −2 3 0 1 

 𝐮 × 𝐯 = 2 −2 0 1 , − 1 −2 3 1 , 1 2 3 0 = 2, −7,−6 ∎ 

     Secara geometris, perkalian silang 𝐮 × 𝐯 dapat diinterpretasikn oleh gambar berikut, 

     Arah 𝐮 × 𝐯 dapat ditentukan dengan “aturan tangan kanan” (right hand rule). Misalkan 𝜃 adalah sudut di antara u dan v, dan anggaplah u terotasi sejauh sudut 𝜃 menuju v (sehingga berimpit dengan v). Jika jari-jari tangan kanan menunjukkan arah rotasi u maka ibu jari menunjukkan arah 𝐮 × 𝐯. 

     Dengan menggunakan definisi ataupun dengan mempraktekkan aturan ini, dapat diperoleh hasil-hasil berikut : 

𝐢 × 𝐢 = 𝐣 × 𝐣 = 𝐤 × 𝐤 = 𝟎 

𝐢 × 𝐣 = 𝐤 , 𝐣 × 𝐤 = 𝐢 , 𝐤 × 𝐢 = 𝐣 

𝐣 × 𝐢 = −𝐤 , 𝐤 × 𝐣 = −𝐢 , 𝐢 × 𝐤 = −𝐣 

     Diagram berikut dapat membantu untuk mengingat hasil perkalian di atas. 

     Perkalian silang 𝐮 × 𝐯 dapat dinyatakan secara simbolis dalam bentuk determinan 3 × 3 : 

𝐮 × 𝐯 = 𝐢 𝐣 𝐤 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑣1 𝑣2 𝑣3 = 𝑢2 𝑢3 𝑣2 𝑣3 𝐢 − 𝑢1 𝑢3 𝑣1 𝑣3 𝐣 + 𝑢1 𝑢2 𝑣1 𝑣2 𝐤  

     Contoh: 

     Contoh 1dapat dikejakan dengan cara : 

𝐮 × 𝐯 = 𝐢 𝐣 𝐤 1 2 −2 3 0 1 = 2 −2 0 1 𝐢 − 1 −2 3 1 𝐣 + 1 2 3 0 𝐤 = 2𝐢 − 7𝐣 − 6𝐤 ∎ 

Teorema : Hubungan Perkalian Silang dan Perkalian titik 

     Jika u dan v adalah vektor di 𝑅 3 , maka : 

     a. 𝐮 ∙ 𝐮 × 𝐯 = 0 ( 𝐮 × 𝐯 ortogonal ke u ) 

     b. 𝐯 ∙ 𝐮 × 𝐯 = 0 ( 𝐮 × 𝐯 ortogonal ke u ) 

     c. 𝐮 × 𝐯 𝟐 = 𝐮 𝟐 𝐯 𝟐 − 𝐮 ∙ 𝐯 𝟐 (Identitas Lagrange/Lagrange Identity) 

Teorema : Sifat-Sifat Perkalian Silang 

     Jika u, v, dan w dalah sebarang vektor di 𝑅 3 ddan k adalah sebarang skalar, maka : 

     a. 𝐮 × 𝐯 = − 𝐯 × 𝐮 

     b. 𝐮 × 𝐯+ 𝐰 = 𝐮 × 𝐯 + (𝐮 × 𝐰) 

     c. 𝐮 + 𝐯 × 𝐰 = 𝐮 × 𝐰 + (𝐯 × 𝐰) 

     d. 𝑘 𝐮 × 𝐯 = 𝑘𝐮 × 𝐯 = 𝐮 × (𝑘𝐯) 

     e. 𝐮 × 𝟎 = 𝟎 × 𝐮 = 𝟎 

     f. 𝐮 × 𝐮 = 𝟎 

     g. 𝐮 ∙ 𝐯 × 𝐰 = 𝐮 × 𝐯 ∙ 𝐰 = 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑤1 𝑤2 𝑤3 

      Berdasarkan teorema-teorema sebelumnya, dapat diturunkan teorema berikut. 

Teorema : Aplikasi Geometri Perkalian Silang 

     Jika u, v, dan w vektor-vektor di 𝑅 3 dengan titik asal yang sama, maka 

     a. Jika 𝜃 adalah sudut di antara u dan v, maka 𝐮 × 𝐯 = 𝐮 𝐯 sin 𝜃 

     b. Norma dari 𝐮 × 𝐯 sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v, atau Luas jajar genjang = 𝐮 × 𝐯 

     c. Volume bangun yang dibentuk oleh ketiganya adalah 𝑎𝑏𝑠[𝐮 ∙ 𝐯 × 𝐰 ]. 

     Contoh: 

     a, b, dan c adalah sebarang vektor di 𝑅 3 yang berimpit di titik awalnya. Jika ketiganya dihubungkan akan membentuk suatu bangun dimensi-3 (parallelpiped).

     Luas masing-masing sisinya adalah : 

 𝐚 × 𝐛 , 𝐛 × 𝐜 , 𝐚 × 𝐜 

     Sedangkan volume bangun tersebut adalah : 

𝑎𝑏𝑠(𝐚 ∙ 𝐛 × 𝐜 ) 

     Rumus volume di atas biasanya digunakan untuk mengetahui apakah ketiga vektor berada pada bidang yang sama. Jika volume yang dihitung bernilai nol, maka ketiganya berada pada bidang yang sama, dan sebaliknya jika volumenya tidak sama dengan nol. Fungsi abs(absolute)/mutlak berguna untuk mempositifkan hasil akhir perhitungan volume. 

     Contoh: 

     Tentukan apakah ketiga vektor 𝐚 = (1, 4, −7), 𝐛 = (2,−1, 4), dan 𝐜 = (0,−9, 18) terletak pada satu bidang di 𝑅 3 atau tidak. 

     Penyelesaian : 

𝐚 ∙ 𝐛 × 𝐜 = 1 4 −7 2 −1 4 0 −9 18 1 4 2 −1 0 −9 = 1 −1 18 + 4 4 0 + −7 2 −9 — { 7 −1 0 + 1 4 −9 + 4 2 18 } = −18 + 126 − 144 + 36 = 0 

     Jadi, ketiga vektor tersebut terletak pada satu bidang di 𝑅 3 ∎ 

     

Daftar Pustaka:

• Rivership, Mkls. 2014. "Vektor Ruang 2 dan 3 (vector 2D & 3D)", https://www.slideshare.net/mklsrivership/vektor-diruang-2dan3-121002010325phpapp01?from_action=save, diakses pada 5 Maret 2021 pukul 07.50 wib.