Vektor, Jenis Vektor, Operasi Vektor, dan Contoh Soalnya

Vektor adalah sebuah besaran yang berarah. 

Vektor juga bisa digambarkan sebagai panah yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut juga Besar Vektor.

Vektor yang berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis sebagai :

atau

Jenis – Jenis Vektor

Vektor juga memiliki beberapa jenis tersendiri, yaitu sebagai berikut.

Vektor Posisi

Vektor Posisi adalah vektor yang titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A (a1, a2). 

Vektor 0 (Nol)

Vektor 0 adalah vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan

Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.

Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari 

adalah

Vektor di R2

Panjang sebuah segmen garis yang menyatakan vektor  atau dinotasikan sebagai Panjang vektor sebagai :

Panjang vektor tersebut ialah dapat dikaitkan dengan sudut θ yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x positif.

Operasi di Vektor di R2

Penjumlahan Vektor 

2 vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya dapat disebut resultan. 

Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang juga seletak. Jika

Maka

Secara grafis, penjumlahan vektor dapat dilihat pada gambar dibawah :

Sifat – sifat penjumlahan vektor adalah sebagai berikut.

Pengurangan Vektor 

Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu sebagai berikut:

Perkalian Vektor dengan Skalar

Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. 

Jika v adalah vektor dan k merupakan skalar. Maka perkalian vektor dapat dinotasikan:

Keterangan:

Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor. Lihat tabel berikut.

Perkalian vektor  dengan skalar k dapat dirumuskan sebagai berikut:

Perkalian Skalar 2 Vektor

Perkalian skalar dua vektor dapat disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor, ditulis sebagai berikut:

Contoh Soal:

1. Diketahui ada titik A(1, 3, 5), titik B(4, 6, 2), dan titik C(m, n, -5). Apabila titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p + q !

           a. -14

           b. -12

           c. -10

           d. -8

           e. -6

Pembahasan :

Jika titik – titik A, B, dan C segaris maka vektor AB dan vektor  AC bisa juga searah atau berlainan arah. 

Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan bisa membentuk persamaan berikut ini :

Jika B ada diantara titik A dan C, maka 

Sehingga

Maka kelipatan m dalam persamaan dapat ditemukan sebagai berikut

m . (-3) = -9, maka m = 3

Dengan subsitusi nilai m, akan diperoleh:

m . 3 = p – 1, maka p= -8

m . 3 = q – 3, maka q= -6

Jadi,

p + q = – 8 – 6 = – 14

Jawaban: a. -14

2. Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p+q.

    a. 25

    b. 24

    c. 23

    d. 22

    e. 21

Pembahasan:

Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor  dan vektor  bisa searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:

sehingga:

Maka kelipatan m dalam persamaan:

Diperoleh:

disimpulkan:

p+q=10+14=24

Jawaban: b. 24

3. Diketahui ada titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Apabila titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p + q !

    a. 30

    b. 35

    c. 17

    d. 24

    e. 45

Pembahasan :

Jika titik – titik A, B, dan C segaris maka vektor   dan vektor   bisa juga searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan bisa membentuk persamaan berikut ini :

Jika B berada diantara titik A dan C, maka akan diperoleh :

Sehingga Dapat Diperoleh :

Maka kelipatan m dalam persamaan :

Diperoleh :

Jadi, dapat disimpulkan :

p + q = 10 + 14 = 24

Jawaban: d. 24

Daftar Pustaka:

• Emma. 2021. "Vektor (Pengertian, Jenis, Operasi, & Contoh Soal)", https://gurubelajarku.com/vektor/, diakses pada 19 Februari 2021 pukul 06.25 wib.
• Seputarpengetahuan. 2020. "Vektor: Pengertian, Materi, Rumus, dan Contoh Soal", https://www.seputarpengetahuan.co.id/2020/05/vektor.html, diakses pada 19 Januari pukul 06.53 wib.

Read More

Dalil Segmen Garis pada Masalah Geometri dan Contoh Soalnya

Ingat bahwa garis AB adalah himpunan tak berbatas dari titik-titik yang membentang tampa henti di kedua arah, tetapi satu baris. Sedangkan segmen garis AB adalah bagian dari garis AB dan memiliki panjang terbatas (titik A dan B sebagai batas)

Perhatikan beberapa dalil segmen garis berikut ini :
Dalil 1 : (Sifat kongruen segmen garis)
Sifat kongruen segmen garis adalah refleksi, simetri dan transitif
Refleksi : Untuk setiap garis AB berlaku AB ≡ AB
Simetri : Jika AB ≡ CD, maka CD ≡ AB
Transitif : Jika AB ≡ CD, dan CD ≡ EF maka AB ≡ EF

Dalil 4 : Dua garis tidak berpotongan pada lebih dari satu titik
Pada gambar di dibawah
AEB dan CED berpotongan di titik D dan tidak berpotongan dititik lain.

Dalil 5 : Jika terdapat sebuah titik pada suatu garis hanya dapat dibuat satu garis tegak lurus melalui garis tersebut

Dalil 6 : Untuk setiap dua titik berbeda, hanya ada satu bilangan real positif, yaitu panjang segmen garis yang menghubungkan dua titik.

Pada gambar diatas, untuk titik A dan B yang berbeda, hanya ada satu bilangan real positif, diwakili oleh AB yang merupakan AB . yang merupakan jarak titik A ke titik B

Dalil 7 : Jarak terpendek antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan dua titik itu.

Dalil 8 : Segmen garis memiliki satu dan hanya satu titik tengah.

Pada gambar diatas, segmen AB memiliki titik tengah M, dan tidak ada titik tengah lain pada AB .

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

Penerapan dalil segmen garis adalah pada segitiga. Terdapat beberapa dalil yang berlaku pada segitiga, yakni dalil titik tengah dan dalil intersep. Berikut akan diuraikan tentang kedua dalil tersebut:

(1) Dalil titik tengah segitiga
Ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari dua sisi segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan setengah dari panjang sisi ketiga.

Jadi, pada segitiga ABC di atas, terdapat titik D dan E yang masing-masing merupakan titik tengah dari sisi AC dan AB, maka ruas garis DE akan sejajar dengan CB dan panjang DE setengah dari panjang AB.

(2) Dalil Intersept (Intercept)
Jika dua atau lebih garis sejajar dipotong oleh dua garis berpotongan, maka rasio dari ruas garis berpotongan pertama adalah sama dengan rasio dari ruas garis yang serupa dari garis perpotongan kedua.

Jadi, pada segitiga ABC di atas, terdapat garis DE yang sejajar dengan AB, dan kemudian garis-garis sejajar itu dipotong oleh dua garis yang berpotongan yakni CA dan CB, maka berlaku:

Pengembangan dari dalil ini, apabila terdapat tiga garis sejajar dan ketiga garis itu dipotong oleh dua garis yang berpotongan, seperti tampak pada gambar di samping, maka berlaku perbandingan:

Contoh Soal:

1. Perhatikan gambar di bawah ini.

  

Jelaskan kedudukan titik-titik di atas terhadap garis.

Jawaban:

Berdasarkan  gambar di atas, kita dapat menyebutkan kedudukan titik terhadap garis sebagai berikut.

1). Titik A , titik D, dan titik D berada di luar garis.

2). Titik B dan titik C berada pada garis.

2.  Perhatikan gambar berikut.

   

Jelaskan kedudukan antargaris yang terdapat pada limas di bawah ini. Tunjukkan pasangan garis-garis yang sejajar, berpotongan, dan bersilangan.

Jawaban:

Kedudukan antargaris

1). Pasangan garis yang sejajar:

    AB dengan CD,   AD  dengan BC

2) Pasangan garis yang berpotongan:

   AB berpotongan dangan BC, TB, TA, dan DA.

   AD berpotongan dengan AB, TA, TD, dan CD.

   BC berpotongan dengan AB, TB, TC, dan CD.

   CD berpoyongan dengan BC, TC, TD,dan AD.

   TA berpotongan dengan AB, AD, TB, TC, dan TD.

   TB berpotongan dengan AB, BC, TA, TC, dan TD.

   TC berpotongan dengan BC, CD, TA, TB, dan TD.

   TD berpotongan dengan AD, CD, TA, TB, dan TC. 

3) Pasangan garis yang bersilangan

   AB dengan TD        AB dengan TC

   BC dengan TA        BC dengan TD

   CD dengan TA        CD dengan TB

   AD dengan TB        AD dengan TC

3.   Diketahui garis AB memiliki panjang 36 cm. Titik C berada pada AB dengan perbandingan AC : CB = 2 : 7. Tentukan panjang AC.

Jawaban :

Diketahui AB = 36  cm

AC : AB = 2 : 7, berarti AC : AB = 2 : 9.

 

Ingat penyelesaian perbaandingannya.

AC : AB = 2 : 9

AC : 36 = 2 : 9

AC x 9 = 36 x 2

AC x 9 = 72

     AC = 72 : 9

      AC = 8 

Jadi, panjang AC = 8 cm.

4. Perhatikan gambar berikut.

   

Tentukan nilai x.

Jawaban : B

Dari gambar tampak bahwa perbandingan AB : BC = 4 : 7,2.

Diketahui panjang ruas garis DE = x.

Sehingga diperoleh  hubungan perbandingan berikut.

AD : DE = AB : BC

7 : x = 4 : 7,2

4 × x = 7 × 7,2

4 × x = 50,4           

      x = 50,4 : 4

      x =  12,6

Jadi, panjang ruas DE = 12,6 cm.

5.  Perhatikan gambar berikut.

  

   

Daftar Pustaka:

• Suwarno, Muji. 2017. Dalil Segmen Garis, diambil tanggal 5 Februari 2021, dari https://www.materimatematika.com/2017/11/dalil-segmen-garis.html. 
• TIM. 2017. Titik, Garis, Segmen Garis, dan Hubungan Antargaris, diambil tanggal 5 Februari 2021, dari http://imathsolution.blogspot.com/2017/08/titik-garis-segmen-garis-dan-hubungan.html. 

Read More