Persamaan Eksponen dan Sifat-sifatnya

 

Persamaan Eksponen

   Persamaan eksponen merupakan sebuah persamaan yang eksponennya juga mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat a m x a n= a m + n.

Pangkatnya 

   Sifat-sifat persamaan eksponen sederhana banyak sifatnya, berikut ini sifat-sifat persamaan eksponen berdasarkan pangkatnya adalah:

1. Pangkat Bulat Positif (m dan n bulat positif)

• a^m . aⁿ= a^m+n
• a^m/aⁿ= a^m-n
• (a^m)ⁿ = a^m.n
• (ab)^m = a^m.b^m
• (a/b)^m = a^m/b^m

     2. Pangkat Nol

•  A⁰ = 1, dengan syarat a¹0

      3. Pangkat Bulat Negatif (n positif)

• a^-n = 1/aⁿ, atau 1/a^-n = aⁿ

      4. Pangkat Bilangan Pecahan

• a^1/n = n√a
• a^m/n = n√a^m = ( n√a)^m

Jenis-jenis Persamaan Eksponen

   

Berikut ini jenis eksponen yang persamaannya memuat peubah adalah:

• 4x – 2x – 6 = 0
• 23x – 2 = 128 

1. Persamaan eksponen berbentuk ap = aq

   Jika a > 0 ; a ¹ 1 dan ap = aq maka p = q
   Contoh:
   Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

• 23x – 2 = 128
• 5×2 + 6x – 42 = 3125 12 – x
• 42x – 18x + 4 = 0

   Jawab:

• 23x-2 = 128

         23x-2 = 27

         3x - 2 = 7

         3x = -9

         x = 3

• 5× + 6x – 42 = 1325 12 – x

        5× + 6x – 42 = 55 (12 – x)

        x2 + 6x – 42 = 5 (12–x)

        x2 + 6x – 42 = 60 – 5x

        x2 + 11x –102 = 0

        (x + 17)(x – 6) = 0

        x = –17 atau x = 6

• 42x – 18x + 4 = 0

        2.22x = 9.2 + 4 = 0

        2.(2x)2 – 9.2x + 4 = 0

        2a2 – 9a + 4 = 0

        (2a - 1)(a - 4) = 0

        a = ¹/₂  atau a = 4

        Untuk a = ½

        2x = ½

        2x = 2-1

        X = -1

        Untuk a = 4

        2x = 4

        2x = 22

        X = 2

        Jadi Hp = {-1,2}

2. Persamaan eksponen berbentuk af(x) = b f(x)

    Jika af(x) = b f(x) maka f(x) = 0
    dengan (a > 0 ; b > 0 ; a ≠ 1; b ≠ 1)

    Contoh :

• Carilah semua x yang memenuhi 25.5 2x – 5 = 3 2x – 3

    Jawab :

• 25.52x – 5 = 3 2x – 3
  52. 52x – 5 = 3 2x – 3
  52x – 5 +2 = 3 2x – 3
  52x – 3 = 32x – 3
  2x – 3 = 0
  2x = 3
  x = 3/2

3. Persamaan eksponen berbentuk (h(x))f(x) = (h(x))g(x)

• Jika h(x) = 0, maka haruslah f(x) > 0 dan g(x) > 0 karena nol berpangkat nol atau berpangkat negatif tidak didefinisikan.
• Jika h(x) ≠ 0 maka (h(x))g(x) ≠ 0. Maka kita dapat juga membagi kedua ruas dengan (h(x))g(x) sehingga menjadi:
  (h(x))f(x) : (h(x))g(x) = (h(x))g(x) : (h(x))g(x)
  (h(x))f(x) – g(x) = 1
• Jika h(x) = 1 maka f(x) dan g(x) tidak juuga memberikan syarat apapun sebab satu berpangkat sembarang itu bilangan terdefinisi dan hasilnya satu.
• Jika h(x) = -1 maka f(x) – g(x) haruslah genap sebab -1 berpangkat ganjil hasilnya bukan satu. f(x) – g(x) genap sama artinya dengan f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
  Jika h(x) ≠ 1 maka haruslah f(x) = g(x)

Penyelesaian persamaan tersebut (h(x))f(x) = (h(x))g(x) adalah semua x yang sudah memenuhi persamaan:

h(x) = 0 dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0
h(x) = 1
h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap
h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1 dan f(x) = g(x)

Contoh :

• Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 5)x2 – 4 = (x – 5)2 – x)

Jawab :

• h(x) = 0 ⟺ x – 5 = 0 ⟺ x = 5
  Syarat x2 – 4 > 0 dan 2 – x > 0

Substitusikan x – 5
52 – 4 > 0 dan 2 – 5 > 0 (tidak memenuhi)
Ini berarti x = 5 bukan himpunan penyelesaian.

• h(x) = 1 ⟺ x – 5 = 1 ⟺ x = 6

Tidak memerlukan syarat sehingga x = 6 merupakan himpunan penyelesaian.

• h(x) = -1 ⟺ x – 5 = -1 ⟺ x = 4

Substitusikan x = 4 pada f(x) dan g(x)
42 – 4 = genap dan 2 – 4 = genap
Karena keduanya genap maka x – 4 merupakan himpunan penyelesaian.

• f(x) = g(x) ⟺ x2 – 4 = 2 – x
  ⟺ x2 + x – 6 = 0
  ⟺ (x + 3)(x – 2) = 0
  ⟺ x = -3 atau x = 2

Setelah itu disubstitusikan x = -3 atau x = 2 ke dalam h(x) diperoleh h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1
Ini berarti x = -3 atau x = 2 merupakan himpunan penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah = {-3, 2, 4, 6}

Daftar Pustaka

https://rumus.co.id/persamaan-eksponen/