Soal Persamaan Eksponen dan Sifat-sifatnya

   Pada pertemuan sebelumnya kita telah membahas materi eksponen. Nah, agar kita lebih memahami materi yang telah disampaikan sebelumnya, mari kita kerjakan latihan soal berikut ini:

1. Tentukan solusi dari persamaan 2^x+3=4^x-2

          a. X = 5

          b. X = 7

          c. X = 9

          d. X = 3

          e. X = 6

    Pembahasan:

          2^x+3=4^x-2

          2^x+3=(2²)^x-2

          x+3= 2x-4

          X=7

                                                                                                                        Jawaban: b. X = 7

     2. Tentukan solusi dari persamaan 3^x-2 = 9^x+2
          a. X = -9

          b. X =  6

          c. X = -6

          d. X =  9

          e. X = 3

         Pembahasan:
          3^x-2 = 9^x+2
          3^x-2 = (3²)^x+2
          x-2  = 2x+4
          x-2x = 4+2
            x    = -6 
                                                                                                                       Jawaban: c. x = -6
    3. Nilai x yang memenuhi persamaan 16^3x = ½ Ö2 adalah…

        a. - 1/24
        b. -1/12
        c. -1/2
        d. 1
        e. -1
        Pembahasan:
        16^3x  = ½ Ö2

        2^4(3x) = 2^-1 . 2^1/2
        2^12x   =  2^-1+1/2
        2^12x   =  2^-1/2
        12x    = -1/2
        x        =  -1/24
                                                                                                                            Jawaban: a. -1/24

    4. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial 50^x+2 = 1^2-x

          a. -5

        b. -4

        c. -3

        d. -2

        e. -6

        Pembahasan:

        50^x+2 = 1
        50^x+2 =50⁰
        X+2 = 0
        x = -2

                                                                                                                              Jawaban: d. -2

    5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial 75^x+5 = 1^2-x

          a. -5

        b. -4

        c. -3

        d. -2

        e. -6

        Pembahasan:

        75^x+5 = 1
        75^x+5 = 75⁰
        X+5   = 0
        x        = -5

                                                                                                                              Jawaban: a. -5

    6. Akar-akar persamaan eksponen 3^2x – 10 . 3^x+1 + 81 = 0 adalah x₁ dan x₂. Jika x₁ > x₂, maka nilai         x₂ – x₁ adalah…

          a. -5

        b. -4

        c. -3

        d. -2

        e. -6

        Pembahasan:

        3^2x – 10 . 3^x+1 + 81 = 0

        (3^x) ² – 10 . 3^x+1 + 81 = 0

        (3^x) ² – 10 . 3^x . 3¹ + 81 = 0

        (3^x) ² – 30(3^x ) + 81 = 0

        (3x-3)(3x-27) = 0

        3x = 3 atau 3x = 27

        X= 1 atau x = 3

        X₁ = 3 dan x₂ = 1

        Jadi, X₂ – X₁ = 1 – 3 = -2

                                                                                                                                      Jawaban: d. -2

    7. Akar-akar persamaan 2 . 3^4x 20 . 3^2x  + 18 = 0, jika x₁ < x₂, maka x₁(-4) + x₂ adalah...

        a. 11

        b. -1

        c. -11

        d. 3

        e. 1

    

              Pembahasan:

        2.3^4x – 20.3^2x + 18 = 0

        2(3^2x)² – 20(3^2x) + 18 = 0 _:2

        (3^2x)² – 10(3^2x) + 9 = 0

        (3^2x-1)(3^2x-9) = 0

        3^2x = 1 atau 3^2x = 9

        3^2x = 30 atau 3^2x = 32

        2x = 0 atau 2x = 2

        X = 0 atau x = 1

        X₁ = 0 dan x₂ = 1

        Jadi, nilai x₁(-4)+ x₂ = 0(-4) + 1 = 1

                                                                                                                                      Jawaban: e. 1

    8.  

                                                                                                                                    Jawaban: d. -5

9.

 

                                                                                                                            Jawaban: a. {1,2}

10.

                                                                                                                Jawaban: b. {-3/2, -1/2, 6}

"Bermimpilah setinggi langit, jika engkau jatuh, engkau akan jatuh di antara bintang."

-Ir. Soekarno-

    

Read More

Persamaan Eksponen dan Sifat-sifatnya

 

Persamaan Eksponen

   Persamaan eksponen merupakan sebuah persamaan yang eksponennya juga mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat a m x a n= a m + n.

Pangkatnya 

   Sifat-sifat persamaan eksponen sederhana banyak sifatnya, berikut ini sifat-sifat persamaan eksponen berdasarkan pangkatnya adalah:

1. Pangkat Bulat Positif (m dan n bulat positif)

• a^m . aⁿ= a^m+n
• a^m/aⁿ= a^m-n
• (a^m)ⁿ = a^m.n
• (ab)^m = a^m.b^m
• (a/b)^m = a^m/b^m

     2. Pangkat Nol

•  A⁰ = 1, dengan syarat a¹0

      3. Pangkat Bulat Negatif (n positif)

• a^-n = 1/aⁿ, atau 1/a^-n = aⁿ

      4. Pangkat Bilangan Pecahan

• a^1/n = n√a
• a^m/n = n√a^m = ( n√a)^m

Jenis-jenis Persamaan Eksponen

   

Berikut ini jenis eksponen yang persamaannya memuat peubah adalah:

• 4x – 2x – 6 = 0
• 23x – 2 = 128 

1. Persamaan eksponen berbentuk ap = aq

   Jika a > 0 ; a ¹ 1 dan ap = aq maka p = q
   Contoh:
   Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

• 23x – 2 = 128
• 5×2 + 6x – 42 = 3125 12 – x
• 42x – 18x + 4 = 0

   Jawab:

• 23x-2 = 128

         23x-2 = 27

         3x - 2 = 7

         3x = -9

         x = 3

• 5× + 6x – 42 = 1325 12 – x

        5× + 6x – 42 = 55 (12 – x)

        x2 + 6x – 42 = 5 (12–x)

        x2 + 6x – 42 = 60 – 5x

        x2 + 11x –102 = 0

        (x + 17)(x – 6) = 0

        x = –17 atau x = 6

• 42x – 18x + 4 = 0

        2.22x = 9.2 + 4 = 0

        2.(2x)2 – 9.2x + 4 = 0

        2a2 – 9a + 4 = 0

        (2a - 1)(a - 4) = 0

        a = ¹/₂  atau a = 4

        Untuk a = ½

        2x = ½

        2x = 2-1

        X = -1

        Untuk a = 4

        2x = 4

        2x = 22

        X = 2

        Jadi Hp = {-1,2}

2. Persamaan eksponen berbentuk af(x) = b f(x)

    Jika af(x) = b f(x) maka f(x) = 0
    dengan (a > 0 ; b > 0 ; a ≠ 1; b ≠ 1)

    Contoh :

• Carilah semua x yang memenuhi 25.5 2x – 5 = 3 2x – 3

    Jawab :

• 25.52x – 5 = 3 2x – 3
  52. 52x – 5 = 3 2x – 3
  52x – 5 +2 = 3 2x – 3
  52x – 3 = 32x – 3
  2x – 3 = 0
  2x = 3
  x = 3/2

3. Persamaan eksponen berbentuk (h(x))f(x) = (h(x))g(x)

• Jika h(x) = 0, maka haruslah f(x) > 0 dan g(x) > 0 karena nol berpangkat nol atau berpangkat negatif tidak didefinisikan.
• Jika h(x) ≠ 0 maka (h(x))g(x) ≠ 0. Maka kita dapat juga membagi kedua ruas dengan (h(x))g(x) sehingga menjadi:
  (h(x))f(x) : (h(x))g(x) = (h(x))g(x) : (h(x))g(x)
  (h(x))f(x) – g(x) = 1
• Jika h(x) = 1 maka f(x) dan g(x) tidak juuga memberikan syarat apapun sebab satu berpangkat sembarang itu bilangan terdefinisi dan hasilnya satu.
• Jika h(x) = -1 maka f(x) – g(x) haruslah genap sebab -1 berpangkat ganjil hasilnya bukan satu. f(x) – g(x) genap sama artinya dengan f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
  Jika h(x) ≠ 1 maka haruslah f(x) = g(x)

Penyelesaian persamaan tersebut (h(x))f(x) = (h(x))g(x) adalah semua x yang sudah memenuhi persamaan:

h(x) = 0 dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0
h(x) = 1
h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap
h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1 dan f(x) = g(x)

Contoh :

• Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 5)x2 – 4 = (x – 5)2 – x)

Jawab :

• h(x) = 0 ⟺ x – 5 = 0 ⟺ x = 5
  Syarat x2 – 4 > 0 dan 2 – x > 0

Substitusikan x – 5
52 – 4 > 0 dan 2 – 5 > 0 (tidak memenuhi)
Ini berarti x = 5 bukan himpunan penyelesaian.

• h(x) = 1 ⟺ x – 5 = 1 ⟺ x = 6

Tidak memerlukan syarat sehingga x = 6 merupakan himpunan penyelesaian.

• h(x) = -1 ⟺ x – 5 = -1 ⟺ x = 4

Substitusikan x = 4 pada f(x) dan g(x)
42 – 4 = genap dan 2 – 4 = genap
Karena keduanya genap maka x – 4 merupakan himpunan penyelesaian.

• f(x) = g(x) ⟺ x2 – 4 = 2 – x
  ⟺ x2 + x – 6 = 0
  ⟺ (x + 3)(x – 2) = 0
  ⟺ x = -3 atau x = 2

Setelah itu disubstitusikan x = -3 atau x = 2 ke dalam h(x) diperoleh h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1
Ini berarti x = -3 atau x = 2 merupakan himpunan penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah = {-3, 2, 4, 6}

Daftar Pustaka

https://rumus.co.id/persamaan-eksponen/

 

Read More

Soal Eksponen dan Sifat-sifatnya

   Pada pertemuan sebelumnya kita telah membahas materi eksponen. Nah, agar kita lebih memahami materi yang telah disampaikan sebelumnya, mari kita kerjakan latihan soal berikut ini:

"Pendidikan adalah tiket ke masa depan. Hari esok dimiliki oleh orang-orang yang mempersiapkan dirinya sejak hari ini," 

Malcolm X.

Read More

Eksponen

Pengertian Eksponen

   

   Bilangan Eksponen adalah bentuk dari sebuah bilangan yang dikalikan dengan bilangan yang sama dan diulang-ulang, atau lebih mudahnya kita bisa menyebutnya sebagai perkalian yang diulang-ulang. Eksponen juga bisa dikenal sebagai pangkat yang akan menunjukan nilai derajat kepangkatan.

Bentuk Umum

   Berdasarkan pengertian di atas kita bisa mengetahui bahwa bentuk umum bilangan eksponen adalah seperti ini: 

	an = aaaaaaaaa…a  (a dikali sebanyak n faktor)
Keterangan an  = a pangkat n, a adalah bilangan real dan n adalah  bilangan asli. a   = bilangan pokok (basis) n   = besar pangkat

   Itulah bentuk dasar dari bilangan ini, dimana bilangan pokok akan dikalikan bilangan itu sendiri secara berulang-ulang. Maka didapatkanlah bentuk aⁿ 

 Sifat-sifat Eksponen

    Sifat sifat eksponen dapat dilihat pada tabel di bawah ini:

   

Sifat – Sifat Eksponen
am x an = am+n	Dalam bentuk perkalian, pangkat akan ditambah.
am ÷ an = am-n	Dalam bentuk pembagian, pangkat akan dikurangi.
(am)n = am x n	Jika ada di dalam bentuk kurungan, pangkat akan dikalikan.
(a x b)n  = am x bm	Bila ada dua bilangan di dalam kurungan, kemudian diberi pangkat, maka kedua bilangan tersebut akan memiliki pangkat yang sama.
(a/b)m =  am / bm	Penyebut tidak boleh sama dengan 0, dan dalam bentuk ini, penyebut dan pembilang akan memiliki pangkat.
1 / an = a-n	Untuk sifat ini, bila penyebut bernilai positif dan kemudian dipindahkan ke atas, maka penyebut tersebut akan negatif. Begitu pun sebaliknya.
n√am = am/n	Dalam bentuk akar seperti ini, bila disederhanakan n akan menjadi penyebut dan m akan menjadi pembilang. n harus lebih atau sama besar dengan 2.
a0 = 1	a tidak boleh sama dengan 0.

 

 

 Contoh Soal Eksponen

    Mari kita kerjakan latihan di bawah ini agar lebih memahami apa itu bilangan eksponen.

  Contoh 1:

2³×2⁴÷2²=...?

Pembahasan: 

 2³×2⁴÷2² = 2^3+4-2

                = 2⁵

                =32

Jadi, jawabannya adalah 32

Contoh 2:

7⁰ = …?

Pembahasan:

7⁰ = 1 (Berapapun bilangan yang dipangkatkan dengan angka 0 hasilnya adalah 1)

Jadi, jawabannya adalah 1

Kesimpulan

   Eksponen adalah sebuah konsep bilangan yang berbentuk perkalian bilangan yang sama berulang kali, untuk bisa memahami hal ini, kita harus memperhatikan sifat-sifatnya.

 .

 

Read More